Eine fundamentale Erkenntniss aus der Einsteinschen allgemeinen Relativitätstheorie ist, dass die Raumzeit nicht nur die Bühne der Physik ist auf der physikalische Felder wechselwirken, sondern, dass die Geometrie der Raumzeit zugleich die kausale Struktur, die Beobachter, deren Messungen sowie die Gravitation beschreibt. Die Raumzeit selbst ist hierbei eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit Lorentzscher Metrik, welche die Geometrie definiert.
Wir werden in dieser Arbeit einen erweiterten Raumzeitbegriff entwickeln, der statt auf einer Metrik auf einer Tangentialbündelfunktion basiert, die ein Längenmaß für Kurven definiert. Das Besondere an unserem neuen Zugang ist, dass sich die Rolle der Raumzeitgeometrie in der Physik dabei im Vergleich zur allgemeinen Relativitätstheorie nicht ändert. Die Grundlage für dieses Projekt legen wir mit unserer Erweiterung der Finslerschen Geometrie, die problemlos metrische Geometrie mit Lorentzsignatur verallgemeinert und insbesondere eine kausale Struktur vorgibt. Die so konstruierten Finslerraumzeiten ermöglichen uns die Einstein-Hilbert Wirkung der allgemeinen Relativitätstheorie aus einem völlig neuen Blickwinkel zu betrachten und diese umzuschreiben und zu verallgemeinern. Die so erhaltene Wirkung definiert nun die Dynamik der Tangentialbündelfunktion, die die Geometrie der Finslerraumzeiten bestimmt. Um diese Dynamik mit der Beschreibung der Gravitation in Zusammenhang zu bringen, koppeln wir Materiefelder über Wirkungsintegrale, die die zugehörigen Feldtheorien definieren an die nicht-metrische Geometrie. Das Kopplungsprinzip ist so konzipiert, dass die kombinierte Dynamik der Materiefelder und der Geometrie konsistent mit den Einsteinschen Feldgleichungen ist. Die jetzt noch fehlenden Beobachter auf Finslerschen Raumzeiten werden mit Hilfe eines Vierbeins eingeführt, das einzig und allein durch die angentialbündelfunktion bestimmt ist, welche die Geometrie definiert.
Direkte Konsequenzen der nicht-metrischen Finslerschen Raumzeitgeometrie, die wir besprechen sind: Eine mögliche Erklärung der fly-by Anomalie im Sonnensystem; eine mögliche Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit vom Bewegunszustand des Beobachters; modifizierte Dispersionsrelationen und die prinzipielle Möglichkeit, dass es Teilchen gibt, die sich schneller als Licht bewegen und die Tatsache, dass sich Licht auf Finslergeodäten bewegt.
Unsere Finslerraumzeiten sind die erste Verallgemeinerung von Lorentzschen metrischen Mannigfaltigkeiten auf der Basis von Finslergeometrie, die Beobachter, deren Messungen sowie die Beschreibung von Gravitation beinhaltet.
The fundamental structure on which physics is described is the geometric spacetime background provided by a four dimensional manifold equipped with a Lorentzian metric. Most importantly the spacetime manifold does not only provide the stage for physical field theories but its geometry encodes causality, observers and their measurements and gravity simultaneously. This threefold role of the Lorentzian metric geometry of spacetime is one of the key insides of general relativity.
During this thesis we extend the background geometry for physics from the metric framework of general relativity to our Finsler spacetime framework and ensure that the threefold role of the geometry of spacetime in physics is not changed. The geometry of Finsler spacetimes is determined by a function on the tangent bundle and includes metric geometry. In contrast to the standard formulation of Finsler geometry our Finsler spacetime framework overcomes the differentiability and existence problems of the geometric objects in earlier attempts to use Finsler geometry as an extension of Lorentzian metric geometry. The development of our nonmetric geometric framework which encodes causality is one central achievement of this thesis. On the basis of our well-defined Finsler spacetime geometry we are able to derive dynamics for the non-metric Finslerian geometry of spacetime from an action principle, obtained from the Einstein-Hilbert action, for the first time. We can complete the dynamics to a non-metric description of gravity by coupling matter fields, also formulated via an action principle, to the geometry of our Finsler spacetimes. We prove that the combined dynamics of the fields and the geometry are consistent with general relativity. Furthermore we demonstrate how to define observers and their measurements solely through the non-metric spacetime geometry. Physical consequence derived on the basis of our Finsler spacetime are: a possible solution to the fly-by anomaly in the solar system; the possible dependence of the speed of light on the relative motion between the observer and the light ray; modified dispersion relation and possible propagation of particle modes faster than light and the propagation of light on Finsler null-geodesics.
Our Finsler spacetime framework is the first extension of the framework of general relativity based on non-metric Finslerian geometry which provides causality, observers and their measurements and gravity from a Finsler geometric spacetime structure and yields a viable background on which action based physical field theories can be defined.